Родился в деревне Оларево (ныне Сокольский район Вологодской области) 27 апреля 1918 г. в крестьянской семье. Окончил педагогический техникум в 1934 году, военно-политическое училище в 1940 году. В годы Великой Отечественной войны командовал истребительным отрядом 33-й стрелковой дивизии Северо-Западного фронта, капитан, затемкомандир 709-го стрелкового полка 178-й стрелковой дивизии, майор, подполковник. Из донесения начальника политотдела 178-й дивизии от 29 января 1944 года: «Особенно отличились в боях подразделения 709-го стрелкового полка, где командиром подполковник Б.А. Костров, его заместителем по политчасти майор П.М. Шапкин. Бойцы 709-го стрелкового полка первыми ворвались в город Новосокольники и водрузили победное знамя. За умелую организацию боя представлены к награждению орденом Красного Знамени командир полка Костров, командир батальона капитан Кобзаренко и командир роты старший лейтенант Пыжов, бойцы которого первыми ворвались в город». Заотличия в боях при прорыве линии Маннергейма и овладении городом-крепостью Выборг полку присвоено наименование Выборгский. Великую Отечественную войну Б.А. Костров окончил в должности командира полка. После войны находился на штабной работе в Забайкальском военном округе (1954-1956). В 1952 году окончил Военную академию имени М.В. Фрунзе. С 1956 по 1959 годы – заместитель командира 62-й гвардейской мотострелковой дивизии. С 1959 по 1970 годы – начальник Кали­нинского суворовского военного училища. Награжден двумя орденами Красно­го Знамени, двумя орденами Красной Звезды, орденом Суворова II степени, орденом Трудового Красного Знамени, девятью медалями. Б.А. Костров умер 30 апреля 1970 года.Похоронен на Николо-Малицком кладбище г. Калинина.